4 行 4 列の表の空欄を埋めて、どの行、どの列、両方の対角線の和もすべて同じになるようにせよ。1 行目は -5, 9, 空欄, 空欄。2 行目は 空欄, 0, 1, 空欄。3 行目は 2, 空欄, 5, -1。4 行目は 7, 空欄, 空欄, 10。

Step-by-step solution

1. 1

   すでに埋まっている 1 本の線を探す。 1 本の線をそのまま足せるなら、未知の定和を導入しても何も得はない。主対角線 $-5,\,0,\,5,\,10$ には空欄がないので

   $S=-5+0+5+10=10$

   となる。したがってどの行、列、対角線も合計 $10$ にならなければならない。

2. 2

   空欄がちょうど 1 つの線を埋める。 3 行目と 1 列目にはそれぞれ未知数が 1 つだけある：

   $2+e+5+(-1)=10 \Rightarrow e=4,\qquad -5+c+2+7=10 \Rightarrow c=6$

   新しく分かった成分がさらに別の線を開くので、連立方程式を立てるまでもなく 1 マスずつパズルがほどけていく。

3. 3

   新しい成分を使ってさらに線を解く。 $e=4$ が分かると、2 列目に残る空欄は 1 つになる：

   $9+0+4+f=10 \Rightarrow f=-3$

   次に 4 行目から $7+(-3)+g+10=10 \Rightarrow g=-4$、2 行目から $6+0+1+d=10 \Rightarrow d=3$ が得られる。

4. 4

   3 列目を通して 1 行目を仕上げる。 3 列目はいま $a,1,5,-4$ である：

   $a+1+5-4=10 \Rightarrow a=8$

   そして 1 行目から $-5+9+8+b=10 \Rightarrow b=-2$ が得られる。

5. 5

   反対の対角線も含めてすべての線を検算する。 完成した方陣は

   $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline -5&9&8&-2\\\hline 6&0&1&3\\\hline 2&4&5&-1\\\hline 7&-3&-4&10\\\hline\end{array}$

   である。行：$10,10,10,10$。列：$10,10,10,10$。主対角線 $-5+0+5+10=10$、反対角線 $-2+1+4+7=10$。反対角線は何かを導くのに一度も使っていないので、正真正銘の独立した検算になる。