3人の友人が同じ金額を出し合ってクリームの瓶をまとめて買った。瓶を分けるとき、1人目は2人目より10瓶多く取り、2人目は3人目より4瓶多く取った。公平にするため、1人目は3人目に144を支払った。瓶1本の値段はいくらか。

Step-by-step solution

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   3人の取り分をすべて1つの文字で表す。 3人目の取り分を $a$ 瓶とすると、2人目は $a+4$、1人目は $(a+4)+10=a+14$ になる。最も少ない取り分を基準に置けば、どの量も負にならず、差も読み取りやすい。

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   公平な取り分を求める。 3人が同額を出しているので、それぞれ全体の3分の1を受け取る権利がある：

   $\frac{a+(a+4)+(a+14)}{3}=\frac{3a+18}{3}=a+6$

   ここで未知数 $a$ が消える。だからこそ、総数が分からなくてもこの問題は解ける。

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   各自の過不足をその取り分と比べて測る。

   $\text{1人目：}(a+14)-(a+6)=+8,\qquad \text{2人目：}(a+4)-(a+6)=-2,\qquad \text{3人目：}a-(a+6)=-6$

   つまり1人目は $8$ 瓶多く、2人目は $2$ 瓶、3人目は $6$ 瓶足りない。過剰と不足はつり合っている：$8=2+6$。

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   支払いを正しい不足分に対応させる。 $144$ は3人目に渡されるので、その人の不足分だけを補う。つまり $6$ 瓶分であって、1人目の $8$ 瓶の過剰全体ではない。瓶1本の値段を $x$ とすると：

   $6x=144 \quad\Longrightarrow\quad x=24$

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   精算全体が閉じることを確認する。 1本 $24$ なら、1人目の余分な $8$ 瓶は $8\times24=192$ の価値がある。3人目に $144$、2人目に $2\times24=48$ を払えば、ちょうど $144+48=192$ になる。全員が3分の1の取り分と等しい価値を手にすることになるので、$24$ で整合する。