分数 2/3、5/8、8/13、11/18、… は一定の規則に従う。この規則の後ろの方の項の1つが X/253 で、別の項が 1499/Y である。X と Y の最大公約数を求めよ。

Step-by-step solution

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   分子と分母を別々の数列として扱う。 両者は互いに影響しないので、それぞれ独立に記述できる。分子 $2,5,8,11,\dots$ は $3$ ずつ増え、分母 $3,8,13,18,\dots$ は $5$ ずつ増える。どちらも等差数列である。

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   それぞれの第 $n$ 項の式を書く。 $\text{初項}+d(n-1)$ を使うと：

   $\text{分子}=2+3(n-1)=3n-1,\qquad \text{分母}=3+5(n-1)=5n-2$

   $n=4$ で確かめると $3(4)-1=11$、$5(4)-2=18$ となり、$\tfrac{11}{18}$ と一致する。

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   分母が 253 になる項を探す。 $5n-2=253$ を解くと $n=51$ となり、整数なのでこの項は確かにこの規則の一部である。その分子は

   $X=3(51)-1=152$

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   分子が 1499 になる項を探す。 $3n-1=1499$ を解くと $n=500$ で、これも整数である。その分母は

   $Y=5(500)-2=2498$

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   最大公約数を取る前に、両方を素因数分解する。 4桁の数を相手に勘で進めるのは危険である：

   $152=2^3\times 19,\qquad 2498=2\times 1249$

   であり、$1249$ は素数である（$35$ 以下のどの素数でも割り切れない）。

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   共通部分を取る。 共通の素因数は $2$ だけで、$2498$ には1回しか現れないので、

   $\gcd(152,\,2498)=2$

   ユークリッドの互除法でも同じ結果になる：$2498=16\cdot152+66$、$152=2\cdot66+20$、$66=3\cdot20+6$、$20=3\cdot6+2$、$6=3\cdot2+0$。