関数 |x| × x を場合分けした関数として書け。

Step-by-step solution

1. 1

   絶対値の定義から出発する。 一部の電卓で使われる記法 $\operatorname{Mod}(x)$ は $|x|$ を意味し、それ自体が場合分けで定義される。

   $|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}$

   分かれ目は $x=0$ で、中身の符号が変わる唯一の点である。場合分けを使わない 1 本の代数式は存在しない——場合分けの答えが正しい形なのはそのためである。

2. 2

   それぞれの場合に $x$ を掛ける。 非負の側では $|x|=x$ なので積は $x\cdot x$、負の側では $|x|=-x$ なので積は $-x\cdot x$ となる。

   $|x|\cdot x=\begin{cases}x^{2},&x\ge0\\-x^{2},&x<0\end{cases}$

3. 3

   継ぎ目での連続性を確かめる。 右からは値が $0^{2}=0$ に近づき、左からは $-0^{2}=0$ に近づく。どちらも $x=0$ での値と一致するので、この関数は連続である——2 つの放物線の半分が原点でなめらかにつながる。

4. 4

   具体的な値で検証する。 $x=3$ では $|3|\cdot3=9=3^{2}$ ✓。$x=-3$ では $|-3|\cdot(-3)=3\cdot(-3)=-9=-(-3)^{2}$ ✓。$41$ 個の厳密な有理点で直接評価と場合分けの形が一致した ✓。結果はどこでも $x^{2}$ になるわけではない点に注意する。負の $x$ では値も負である。

5. 5

   この関数の性質を押さえる。 $x$ を $-x$ に置き換えると $|-x|(-x)=-|x|x$ となるので、この関数は奇関数であり原点に関して対称である。また（$x^{2}$ とは違って）$\mathbb{R}$ 全体で狭義単調増加であり、そのため逆関数をもつ。逆関数は $y\mapsto\operatorname{sign}(y)\sqrt{|y|}$ である。$x|x|$ や $\operatorname{sign}(x)\,x^{2}$ と簡潔に書かれることも多い。