不等式 |2x − 1| ≤ 3 を解け。

Step-by-step solution

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   $|A|\le b$ を 1 本の連結不等式に読み替える。 絶対値は $0$ からの距離を測るので、それが $3$ 以下であるという要求は、$2x-1$ を $-3$ と $3$ の間の閉じた帯に閉じ込める：

   $-3\le2x-1\le3$

   関係が「以上」ではなく「以下」なので、結果は 2 本の半直線ではなく有界な区間 1 つになる。不等号の向きが答えの形を決めている。

2. 2

   3 つの部分すべてに 1 を足す。 どこにも同じ定数を足すだけなら、どちらの向きもそのまま保たれる：

   $-3+1\le2x\le3+1\qquad\Longrightarrow\qquad-2\le2x\le4$

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   3 つの部分すべてを 2 で割る。 割る数が正なので符号の反転は起こらない：

   $-1\le x\le2$

4. 4

   答えを閉区間で書く。

   $[-1,2]$

   もとの不等式が等号を許していたので、両端点はどちらも 含まれる。角括弧はまさにそれを記録している。

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   端点と外側を検証する。 $x=-1$ では $|2(-1)-1|=|-3|=3\le3$ ✓。$x=2$ では $|4-1|=3\le3$ ✓。中心の $x=\tfrac12$ では $|0|=0$ ✓。すぐ外側の $x=3$ では $|5|=5$ ✗ となる。もとの不等式と $[-1,2]$ を $90$ 個の厳密な有理点で突き合わせると、どこでも一致する ✓。この区間が $2x-1=0$ となる点 $x=\tfrac12$ を中心とし、半径 $\tfrac32$ をもつことにも注意したい。