f(x) = −|x + 5| − 4 のグラフをかけ。頂点、開く向き、切片、値域を答えよ。

Step-by-step solution

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   式を標準形に合わせる。 $f(x)=a\left|x-h\right|+k$ と比べると：

   $a=-1,\qquad h=-5\ \ (\text{なぜなら }x+5=x-(-5)),\qquad k=-4$

   なので頂点は $(-5,-4)$ である。$h$ を読む前に $x+5$ を $x-(-5)$ と書き直しておけば、よくある符号の誤りを防げる。

2. 2

   $a$ から開く向きと傾きの大きさを決める。 $a=-1<0$ なのでグラフは下に開き、上下を反転した V 字になる。$|a|=1$ なので腕の傾きは、頂点の左で $+1$、右で $-1$ であり、もとの $|x|$ と同じ急さである。

3. 3

   変換の積み重ねとしてグラフを作る。 $y=|x|$ から出発する。左へ $5$ だけ平行移動し（$x+5$ が $x=-5$ でゼロになるため）、$x$ 軸に関して反転させ、下へ $4$ だけ平行移動する：

   $|x|\;\to\;|x+5|\;\to\;-|x+5|\;\to\;-|x+5|-4$

4. 4

   頂点の両側にいくつか点を打つ。 $(-5,-4)$ から傾き $\pm 1$ を使うと：

   $f(-7)=-2-4=-6,\quad f(-6)=-1-4=-5,\quad f(-5)=-4,\quad f(-4)=-5,\quad f(-3)=-6$

   これらの値には鉛直な直線 $x=-5$ についての対称性が見てとれる。横方向の平行移動が正しく適用されたことのよい確認になる。

5. 5

   切片と値域を読み取る。 $y$ 切片は $f(0)=-|5|-4=-9$ であり、点 $(0,-9)$ になる。$x$ 切片には $-|x+5|-4=0$、すなわち $|x+5|=-4$ が必要だが、絶対値は決して負にならないのでこれは不可能である。よって、そのような切片は存在しない。出力の最大値は頂点での $-4$ なので、値域は

   $(-\infty,-4]$

   である。