分数 81/16 をべきの形で書け。底と指数は何になるか。また 81/16 は整数のべきになるか。

Step-by-step solution

1. 1

   分子と分母を素因数のべきに分解する。 割り算を繰り返すと

   $81=3\cdot 27=3\cdot 3\cdot 9=3^{4},\qquad 16=2\cdot 8=2\cdot 2\cdot 4=2^{4}.$

   となる。先に因数分解する狙いは、2 つの指数が一致するかを見ることにある——それこそが、この分数が 1 つのべきになるための条件である。

2. 2

   べきの商の公式を逆向きに使う。 どちらの指数も $4$ なので、法則 $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ がそのまま使える。

   $\frac{81}{16}=\frac{3^{4}}{2^{4}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}.$

   この恒等式を左から右に使うことは多くの人が知っているが、右から左に読むことこそが分数をべきに変える。

3. 3

   指数をこれ以上小さくできないか確かめる。 $\tfrac{81}{16}$ をもっと小さい指数で、たとえば平方として書けるだろうか。それには $\left(\tfrac{3}{2}\right)^{4}=t^{2}$ で $t=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac94$ とすればよく、実際

   $\frac{81}{16}=\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}.$

   どちらの形も正しい。$\left(\tfrac32\right)^{4}$ が底の最も小さい形であり、$3$ と $2$ が素数なので指数 $4$ がとりうる最大の値である。

4. 4

   「整数のべきか」という問いに答える。 小数にすると $\tfrac{81}{16}=5.0625$ で整数ではないので、整数 $m$ と $k\ge 1$ による $m^{k}$ には等しくなりえない。底は必然的に分数になる——既約分数が整数のべきになるのは分母が $1$ のときだけである。

5. 5

   小数ではなく厳密に検算する。 分数のまま $\left(\tfrac32\right)^{4}$ を計算すると $\tfrac32\cdot\tfrac32=\tfrac94$、$\tfrac94\cdot\tfrac94=\tfrac{81}{16}$ ✓。$1.5^{4}=5.0625$ ではなく厳密な分数で確かめることで、丸めの疑いを残さずに済む。