9^(x − 1/2) − 4/3^(1 − x) = −1 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを同じ底で書き直す。 $9=3^{2}$ だから

   $9^{\,x-\frac12}=\left(3^{2}\right)^{x-\frac12}=3^{\,2x-1}.$

   指数どうしを掛けることで、扱いにくい $\tfrac12$ が消える。$2\left(x-\tfrac12\right)=2x-1$ は整数ぶんのずれである。

2. 2

   負の指数を使って分数を分子側へ移す。 $\frac{1}{3^{\,1-x}}=3^{\,x-1}$ なので

   $\frac{4}{3^{\,1-x}}=4\cdot3^{\,x-1},$

   となり、方程式は

   $3^{\,2x-1}-4\cdot3^{\,x-1}=-1.$

   となる。どちらの指数も $x$ の部分が 2 倍の関係にあり、これは置き換えで問題が線形になるという合図である。

3. 3

   $t=3^{\,x-1}$ と置く。 すると自動的に $t>0$ であり、

   $3^{\,2x-1}=3^{\,2(x-1)+1}=3\left(3^{\,x-1}\right)^{2}=3t^{2}.$

   余分な因子 $3$ を正しく出すところが要である。$2x-1$ は $2(x-1)+1$ であって、$2(x-1)$ ではない。

4. 4

   2 次方程式を解く。 方程式は $3t^{2}-4t=-1$、すなわち

   $3t^{2}-4t+1=0\;\Longrightarrow\;(3t-1)(t-1)=0\;\Longrightarrow\;t=\tfrac13\ \text{または}\ t=1.$

   となる。2 つの解はどちらも正なので、捨てるべきものはない。負や 0 の $t$ は $3$ の累乗になりえないので、確かめておく価値がある。

5. 5

   置き換えをもとに戻して検算する。 $3^{\,x-1}=\tfrac13=3^{-1}$ から $x-1=-1$、すなわち $x=0$ を得る。$3^{\,x-1}=1=3^{0}$ からは $x=1$ を得る。もとの方程式で確かめると、$x=0$ のとき $9^{-1/2}-\tfrac{4}{3}=\tfrac13-\tfrac43=-1$ ✓、$x=1$ のとき $9^{1/2}-\tfrac{4}{3^{0}}=3-4=-1$ ✓。