x^2 - 4xy + 4y を因数分解せよ。整数の範囲で分解できない場合はその理由を説明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   共通因数を確かめる。 3 つの項は $x^2$、$-4xy$、$4y$ である。第 1 項には $y$ が無く、最後の項には $x$ が無いので共通の文字因子は無い。また $x^2$ は $4$ を因数にもたない。くくり出せるものは何も無い。

2. 2

   完全平方の型を試し、当てはまらないことを見る。 型 $a^2-2ab+b^2$ では最後の項が平方でなければならない。しかし $4y$ は平方ではない。$y$ の指数が奇数だからである。よく知られた恒等式が当てはまるのは

   $x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$

   の方であり、最後の $y$ の指数が欠けていることがすべての違いである。

3. 3

   $x$ についての 2 次式とみなして判別式を計算する。 $x^2-(4y)x+4y$ と書くと

   $\Delta=(4y)^2-4(1)(4y)=16y^2-16y=16y(y-1)$

4. 4

   結論を導く。 多項式を係数にもつ $x$ の 2 次式が $\mathbb{Z}[y]$ 上で因数分解できるのは、その判別式が多項式の平方であるときに限る。ここで $16y(y-1)$ は $16$ に相異なる 2 つの 1 次因子の積を掛けたもので、$\mathbb{Z}[y]$ における完全平方ではない。したがって $x^2-4xy+4y$ は既約である。

5. 5

   部分的にまとめて確かめる。 できるのはせいぜい

   $x^2-4y(x-1)$

   と書き換えることぐらいで、これは正しい変形ではあるが因数分解ではない。残った 2 つの部分に共通するものが何も無いからである。もし意図された問題が $x^2-4xy+4y^2$ だったのなら、答えは $(x-2y)^2$ である。