9x² − 12xy + 4y² を完全平方の形で書け。

Step-by-step solution

1. 1

   両端の 2 項が平方かどうかを試す。 3 項式が 2 項式の平方になりうるのは、最初と最後の項が平方であるときだけである：

   $9x^2=(3x)^2,\qquad 4y^2=(2y)^2$

   したがって候補は $(3x\pm 2y)^2$ であり、符号を決められるのは中央の項だけである。

2. 2

   中央の項を $2ab$ と照合する。 $a=3x$、$b=2y$ として $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ を考えると：

   $2ab=2(3x)(2y)=12xy$

   与えられた中央の項は $-12xy$ であり、$-2ab$ とぴたり一致する。この照合こそがこの手法のすべてである。中央の項が $\pm 12xy$ 以外だったなら、この式は完全平方ではない。

3. 3

   中央の項から符号を決める。 中央の項が負なので、2 項式にはマイナスが入る：

   $9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2$

4. 4

   展開して確認する。

   $(3x-2y)^2=(3x)^2-2(3x)(2y)+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2\;\checkmark$

5. 5

   因数分解した形が何を教えてくれるかを見る。 この式は平方なので、実数 $x,y$ に対して決して負にならず、零になるのはちょうど $3x=2y$ のときである。$x=2$、$y=3$ を代入すると $9(4)-12(6)+4(9)=36-72+36=0$ となり、確かに $3(2)=2(3)\;\checkmark$ である——零点集合の数値的な裏づけになっている。