x³ + x² + 2x + 1 を因数分解せよ。または有理数の範囲では因数分解できないことを示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   候補の一覧を絞り込む。 最高次の係数が $1$、定数項が $1$ なので、有理数解 $p/q$ は $p\mid 1$ かつ $q\mid 1$ を満たす。生き残る候補は 2 つだけである：

   $x=1\quad\text{と}\quad x=-1$

2. 2

   両方を試す。 $f(x)=x^3+x^2+2x+1$ とおくと：

   $f(1)=1+1+2+1=5\neq 0$
   $f(-1)=-1+1-2+1=-1\neq 0$

   どちらも解ではないので、$f$ は有理数係数の 1 次因子をもたない。

3. 3

   3 次式ならそれで決着がつく理由を説明する。 体の上で 3 次の多項式を因数分解すると、必ず 1 次の因子が含まれる（$3$ の分け方は $1+2$ か $1+1+1$ しかない）。有理数係数の 1 次因子をすべて排除したので、$f$ は $\mathbb{Q}$ 上で既約である。

4. 4

   組分けもうまくいかないことを示す。 自然に 2 項ずつ組にすると

   $x^2(x+1)+1(2x+1)$

   となるが、括弧 $(x+1)$ と $(2x+1)$ は異なるので、共通の 2 項式をくくり出せない。組分けが成功するのは 2 つの括弧が一致するときだけであり、$x^3+x^2-x-1$ ではそれが起こる。

5. 5

   念のため、ただ 1 つの実数解を数値的に押さえる。 $f(-0.5)=0.125$、$f(-0.6)=-0.056$ なので、実数解は $x\approx-0.5698$ の近くにある。残る 2 つの解は共役な複素数の組である。この解は無理数なので、有理数係数の因子を与えることはできない $\checkmark$。