x²y − 4xy + 4y を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず 3 項すべてに共通する因数を探す。 どの項もちょうど 1 つの $y$ を含む一方、$x$ の共通のべきはない（最後の項には入っていない）：

   $x^2y=y\cdot x^2,\qquad -4xy=y\cdot(-4x),\qquad 4y=y\cdot 4$

   したがって最大公約因数は $y$ である。

2. 2

   共通因数をくくり出す。

   $x^2y-4xy+4y=y\left(x^2-4x+4\right)$

   これをつねに先にやるからこそ 2 段目が楽になる。かっこの中は最高次の係数が 1 の式になった。

3. 3

   かっこの中が完全平方式であることを見抜く。 $x^2=(x)^2$、$4=2^2$ であり、中央の項は必要な負号を伴って $2\cdot x\cdot 2=4x$ を満たす：

   $x^2-4x+4=(x-2)^2$

4. 4

   2 つの段階を合わせる。

   $x^2y-4xy+4y=y(x-2)^2$

   設問にある 完全に という語は、どちらの段階も省いてはならないという意味である。$y(x^2-4x+4)$ はまだ完全な因数分解ではない。

5. 5

   代入して確かめる。 $x=5$、$y=3$ のとき、もとの式は $75-60+12=27$、$y(x-2)^2=3\cdot 9=27$ である $\checkmark$。