x^3 - 5x^2 + 3x + 2 を因数分解せよ。有理数の範囲で分解できない場合はそれを示し、実数解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解の候補を挙げる。 有理根定理により、既約分数の形の有理数解 $\tfrac{p}{q}$ では $p$ が定数項 $2$ を、$q$ が最高次の係数 $1$ を割り切る。よって $q=\pm1$ であり、候補は

   $x=\pm1,\ \pm2$

   だけである。

2. 2

   候補をすべて試す。

   $f(1)=1-5+3+2=1,\qquad f(-1)=-1-5-3+2=-7$

   $f(2)=8-20+6+2=-4,\qquad f(-2)=-8-20-6+2=-32$

   どれも 0 にならないので有理数解は無く、有理係数の 1 次因子も無い。3 次式が $\mathbb{Q}$ 上で因数分解できるのは有理数解をもつときに限る（どんな因数分解にも 1 次の部分が含まれねばならない）ので、この 3 次式は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

3. 3

   既約であることと解が無いことを混同しない。 実係数の 3 次関数は $-\infty$ から $+\infty$ まで連続に動くので、必ず実数解を少なくとも 1 個もつ。「有理数の範囲で因数分解できない」は実数解について何も言っておらず、どの解も分数ではないと言っているにすぎない。

4. 4

   符号の変化で実数解の個数を数える。 いくつかの点で値を求める：$f(-1)=-7$、$f(0)=+2$、$f(1)=+1$、$f(2)=-4$、$f(5)=+17$。符号は $-1$ と $0$ の間、$1$ と $2$ の間、$2$ と $5$ の間で変わる——3 回の符号変化があるので、3 つの解はすべて実数で無理数である。

5. 5

   数値で位置を求める。 $[-10,10]$ 上の細かい格子で二分法を使うと

   $x_1\approx-0.3914,\qquad x_2\approx1.2271,\qquad x_3\approx4.1642$

   となる。よって実数の範囲での因数分解は小数第 4 位まででは $(x+0.3914)(x-1.2271)(x-4.1642)$ である——$\mathbb{R}$ 上ではまったく正当で、ただ $\mathbb{Q}$ 上ではないというだけである。

6. 6

   解と係数の関係で確かめる。 3 解の和は $-b/a=5$ になるはずで、$-0.3914+1.2271+4.1642=4.9999$ ✓、積は $-d/a=-2$ になるはずで、$(-0.3914)(1.2271)(4.1642)=-2.0000$ ✓。どちらも格子の精度の範囲で一致しており、3 つの実数解が正しく求まり、見落としが無いことが確かめられる。