x³ + 3x² + 7x + 5 を完全に因数分解し、すべての解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解の候補を並べる。 定数項は $5$、最高次の係数は $1$ なので、有理根定理より候補は

   $x=\pm1,\ \pm5$

   である。

2. 2

   小さいものから順に試す。

   $f(-1)=-1+3-7+5=0\ \checkmark$

   よって $x=-1$ は解であり $(x+1)$ は因数である。（念のため：$f(1)=16$、$f(5)=240$、$f(-5)=-80$ なので、有理数解は $-1$ だけである。）係数がすべて正のときは負の候補から試すのが得である。正の $x$ では和が 0 になりようがないからである。

3. 3

   (x + 1) で組立除法により割る。 係数 $1,\ 3,\ 7,\ 5$ に対して解 $-1$ を使う：

   $1\ \to\ 3-1=2\ \to\ 7-2=5\ \to\ 5-5=0$

   余りが 0 であることが解を裏づけ、商は $x^2+2x+5$ である：

   $x^3+3x^2+7x+5=(x+1)\left(x^2+2x+5\right)$

4. 4

   2 次式がさらに分解できるかを調べる。 その判別式は

   $2^2-4(1)(5)=4-20=-16<0$

   である。負なので $x^2+2x+5$ は実数の範囲で既約であり、$\mathbb{Q}$ 上でも $\mathbb{R}$ 上でも因数分解は完全である。

5. 5

   3 つの解をすべて求める。 解の公式より $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\dfrac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$ である。よって

   $x=-1,\qquad x=-1+2i,\qquad x=-1-2i$

   となる。興味深いことに 3 つとも実部が $-1$ で共通している。平方完成がその理由を説明する：$x^2+2x+5=(x+1)^2+4$ なので、複素数の組は実数解のちょうど上と下に位置する。

6. 6

   検算する。 この因数分解は $-30$ から $29$ までのすべての整数でもとの式と一致する ✓。$x=-1$ を代入するとちょうど $0$ になる ✓。解の和は $-3=-b/a$ ✓、積は $-\left((-1)^2+2^2\right)=-5=-d/a$ ✓ である。