3 次方程式 x³ − 3x + 2 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解を探す。 有理根定理により有理数解は定数項 $2$ を割り切るので、候補は $\pm1,\pm2$ である。$x=1$ を試すと：

   $1-3+2=0\ \checkmark$

   なので $x=1$ は解であり、$(x-1)$ が因数になる。$x^2$ の項が無いことはその係数が $0$ であることを意味し、この空位は割り算にそのまま持ち込まなければならない。

2. 2

   組立除法で (x − 1) で割る。 係数 $1,\ 0,\ -3,\ 2$、除数の根 $1$ で行うと：

   $1\ \to\ 0+1=1\ \to\ -3+1=-2\ \to\ 2-2=0$

   最後の $0$ が余りであり、解であることを裏づける。商は $x^2+x-2$ である：

   $x^3-3x+2=(x-1)\left(x^2+x-2\right)$

3. 3

   2 次式を因数分解する。 積が $-2$、和が $+1$ となる 2 数は $+2$ と $-1$ である：

   $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$

4. 4

   重複する因数をまとめる。 因数 $(x-1)$ が 2 回現れる：

   $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$

   これが重解の合図である。$x=1$ を 2 つの別々の答えのように 2 回並べるのではなく、重解であるとはっきり述べる価値がある。

5. 5

   解を読み取る。

   $x=1\ \text{（重複度 2）},\qquad x=-2$

   3 次方程式は重複度を込めて 3 つの解を持つので、これですべてが尽くされている。

6. 6

   重解をグラフで解釈する。 重複度が偶数の解では、曲線は軸を横切らずに接する：$x=1$ は $f(x)=x^3-3x+2$ の極小点である（実際 $f'(x)=3x^2-3=0$ が $x=1$ で成り立ち、$f$ と $f'$ がそこで同時に消える）。$x=-2$ ではグラフは普通に軸を横切る。

7. 7

   因数分解と解を検証する。 $-40$ から $39$ までのすべての整数で $x^3-3x+2$ と $(x-1)^2(x+2)$ を比べると厳密に一致し ✓、$x=1$ と $x=-2$ を代入するとどちらもちょうど $0$ を返す ✓。解と係数の関係も合う：解の和は $1+1-2=0=-b/a$ ✓。