x^3 - 3x^2 + 5x + 1 を有理数の範囲で因数分解せよ。できない場合はそれを示し、実数解が何個あるかを判定せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解の候補を挙げて調べる。 定数項が $1$、最高次の係数が $1$ なので、候補は $x=\pm1$ だけである。

   $f(1)=1-3+5+1=4,\qquad f(-1)=-1-3-5+1=-8$

   どちらも 0 にならない。有理数解が無ければ有理係数の 1 次因子も無く、3 次式の因数分解には必ず 1 次因子が含まれるので、この多項式は**$\mathbb{Q}$ 上既約**である。

2. 2

   微分して形を調べる。

   $f'(x)=3x^2-6x+5$

3. 3

   導関数が決して 0 にならないことを示す。 その判別式は

   $(-6)^2-4(3)(5)=36-60=-24<0$

   なので $f'$ は実数解をもたず、最高次の係数 $3$ が正であることから、すべての実数 $x$ について $f'(x)>0$ である。平方完成すればはっきりする：$3x^2-6x+5=3(x-1)^2+2\ge2>0$。

4. 4

   実数解がちょうど 1 個であると結論する。 狭義単調増加な関数はどの水平線とも高々 1 回しか交わらず、3 次関数は $y=0$ と少なくとも 1 回は交わらねばならない。したがって $f$ の実数解はちょうど 1 個であり、残りは共役な複素数解 2 個である。$x^3-5x^2+3x+2$ との対比に注意したい。あちらも $\mathbb{Q}$ 上既約だが実数解を 3 個もつ——既約性は実数解の個数について何も語らない。

5. 5

   実数解の位置を突き止める。 $f(-1)=-8<0$、$f(0)=1>0$ なので解は $(-1,0)$ にある。細かい格子で二分法を使うと

   $x\approx-0.1795$

   が得られる。確認：$f(-0.1795)=-0.00578+(-0.09666)+(-0.8975)+1=0.0000557$——ほぼ 0 である ✓。

6. 6

   2 つの主張を数値で検証する。 $[-10,10]$ 上の $200{,}001$ 点を走査すると符号の変化はちょうど1 回だけ見つかり ✓、$-10$ から $10$ までの $2000$ 点で評価した $f'(x)=3x^2-6x+5$ はすべての点で正で、最小値は $x=1$ における $2$ である ✓。