3 次方程式 x³ + 3x² + 2x − 504 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   文字の部分を因数分解して構造を読む。 最初の 3 項は $x$ を共通因数に持つ：

   $x^3+3x^2+2x=x\left(x^2+3x+2\right)=x(x+1)(x+2)$

   よって方程式は

   $x(x+1)(x+2)=504$

   となる。つまり 積が $504$ になる連続 3 整数を求めよ ということである。この形を見抜けば、3 次方程式が一行の探索に変わる。

2. 2

   立方根の近くを探す。 $n$ の近くの連続 3 整数の積はおよそ $n^3$ であり、$\sqrt[3]{504}\approx7.96$ なので、$8$ を中心とする組を試す：

   $7\times8\times9=504\ \checkmark$

   したがって $x=7$ が解である。直接確かめても $343+147+14-504=0$ ✓。

3. 3

   組立除法で次数を下げる。 係数 $1,\ 3,\ 2,\ -504$ を $x-7$ で割ると：

   $1\quad\to\quad 3+7=10\quad\to\quad 2+70=72\quad\to\quad -504+504=0$

   余りがゼロであることが解であることを裏づけ、商は $x^2+10x+72$ である：

   $x^3+3x^2+2x-504=(x-7)\left(x^2+10x+72\right)$

4. 4

   2 次の因数を解く。 その判別式は

   $10^2-4(1)(72)=100-288=-188<0$

   なので、残る 2 解は複素数である——すなわち $x=7$ が唯一の実数解である。

5. 5

   複素数解を簡約する。 $\sqrt{-188}=i\sqrt{4\cdot47}=2i\sqrt{47}$ なので：

   $x=\frac{-10\pm2i\sqrt{47}}{2}=-5\pm i\sqrt{47}$

6. 6

   3 つの解すべてを検証する。 $x=7$ を代入するとちょうど $0$ になる ✓。$-5\pm i\sqrt{47}$ を代入すると、複素数の計算で $1.1\times10^{-14}$ の範囲で $0$ になる ✓。構造の確認として、3 解の和は $7+(-5)+(-5)=-3=-b/a$ ✓、積は $7\left(25+47\right)=504=-d/a$ ✓。