5x^2 - 2x + 1 は実数の範囲で因数分解できるか。

Step-by-step solution

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   因数分解の問題を解の問題に置き換える。 2 次式が実係数の 1 次式の積 $a(x-r_{1})(x-r_{2})$ に分解できるのは、実数解 $r_{1},r_{2}$ をもつとき、かつそのときに限る。したがって、因数の組を手当たりしだいに試すまでもなく、判別式だけで決着がつく。

2. 2

   判別式を計算する。 $a=5$、$b=-2$、$c=1$ として

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(5)(1)=4-20=-16$

3. 3

   符号を解釈する。 $\Delta=-16<0$ なので解の公式には $\sqrt{-16}$ が必要になるが、これは実数ではない。よって実数解は無く、実係数の 1 次式への分解も存在しない。

   $5x^{2}-2x+1\ \text{は }\mathbb{R}\text{ 上既約}$

4. 4

   平方完成でも確かめる。 $x$ の項から $5$ をくくり出すと、$-\tfrac25$ の半分は $-\tfrac15$ なので

   $5x^{2}-2x+1=5\left(x-\tfrac15\right)^{2}-5\cdot\tfrac1{25}+1=5\left(x-\tfrac15\right)^{2}+\tfrac45$

   となる。最小値は $\tfrac45>0$ なので放物線は $x$ 軸に決して届かない——同じ結論の独立した証明である。

5. 5

   念のため $\mathbb{C}$ 上で因数分解する。 $5\left(x-\tfrac15\right)^{2}=-\tfrac45$ より $\left(x-\tfrac15\right)^{2}=-\tfrac4{25}$ なので

   $x=\frac{1\pm2i}{5}$

   となり、$5x^{2}-2x+1=5\left(x-\frac{1+2i}{5}\right)\left(x-\frac{1-2i}{5}\right)$ である。解の公式も一致する：$x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{10}=\frac{2\pm4i}{10}=\frac{1\pm2i}{5}$ ✓——実係数の場合は常にそうであるように、共役な組になっている。