3x² − 4x + 2 を平方完成し、そのあと零点を求めよ。

Step-by-step solution

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   取りかかる前に、実数の範囲で因数分解できるかを調べる。 $a=3$、$b=-4$、$c=2$ として：

   $\Delta=(-4)^{2}-4(3)(2)=16-24=-8$

   $\Delta<0$ なので、この二次式には実数解がない。したがって実数係数の一次式の積には分解できない。そこで平方完成が生きてくる。頂点と複素数の解を一度に与えてくれるからである。

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   $x$ の項からだけ最高次の係数をくくり出す。 定数の $2$ を外に置いたままにすると分数が小さく済む：

   $3x^{2}-4x+2=3\left(x^{2}-\tfrac43x\right)+2$

   $-4$ ではなく $-4/3$ であることに注意したい。真ん中の係数を $a=3$ で割るこの段階が、符号や分数を取り違えやすいところである。

3. 3

   括弧の中で平方完成する。 $-\tfrac43$ の半分は $-\tfrac23$ で、$\left(-\tfrac23\right)^{2}=\tfrac49$ である：

   $x^{2}-\tfrac43x=\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac49$

   これを戻して $3$ を分配する。補正の項にも掛かることを忘れないように：

   $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}-3\cdot\tfrac49+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac43+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}+\tfrac23$

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   頂点と最小値を読み取る。 $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}\ge0$ で、等号が成り立つのは $x=\tfrac23$ のときだけなので、最小値は $x=\tfrac23$ における $\tfrac23$ である。この等式は $100$ 個の厳密な有理点で確かめられている ✓。そして最小値が狭義に正であることは $\Delta<0$ と整合している。

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   複素数の範囲で零点を求める。 平方完成した形から $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac23$、すなわち $\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac29$ となり

   $x=\frac{2}{3}\pm\frac{i\sqrt{2}}{3}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}$

   が得られる。解の公式でも一致する：$x=\frac{4\pm\sqrt{-8}}{6}=\frac{4\pm2i\sqrt{2}}{6}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}$。どちらの解を代入し直しても残差は $10^{-12}$ 未満である ✓。