x² − 2x + 3 を平方完成し、その最小値を述べよ。

Step-by-step solution

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   まず判別式を調べて、何が起こるかを見通す。 $ax^{2}+bx+c$ で $a=1$、$b=-2$、$c=3$ とすると：

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(1)(3)=4-12=-8$

   $\Delta<0$ なので実数解がなく、この式は実数の範囲で因数分解できず、0 に触れることもない。そのようなときこそ平方完成が役に立つ。代わりに最小値が見えるようになるからである。

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   定数を切り離し、$x$ の項で平方完成する。 $x$ の係数の半分、すなわち $-2/2=-1$ をとって 2 乗する：

   $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$

   $-1$ は補正である。$(x-1)^{2}$ を展開すると $x^{2}-2x+1$ になって $1$ だけ行き過ぎるので、その余りを引き戻さなければならない。

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   もとの定数と組み直す。

   $x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}-1+3=(x-1)^{2}+2$

   この等式は $80$ 個の有理点で確認されている ✓。特別な値のときだけでなく、すべての $x$ について成り立つ。

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   この形から最小値を直接読み取る。 実数の平方は $(x-1)^{2}\ge0$ を満たし、等号が成り立つのは $x=1$ のときだけである。したがって

   $x^{2}-2x+3\ge0+2=2$

   となり、最小値は $2$ で、$x=1$ で達成される。直接代入しても確かめられる：$1-2+3=2$ ✓。$8000$ 点の数値走査でも $2$ を下回ることは一度もない ✓。

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   2 つの結果を結びつける。 最小値 $2$ が狭義に正であることは、$\Delta<0$ を別の角度から見たものである。上に開いた放物線の最下点が軸より上にあるなら、軸を横切ることはできない。整合的に、$\Delta=-8$ と平方完成の形は同じ結論を与える。すべての実数 $x$ について $x^{2}-2x+3>0$ である。