285a + 315b + 590c = 21,806 を解け。整数解はあるか。また実数の解集合はどうなるか。

Step-by-step solution

1. 1

   係数の最大公約数を計算する。 $\gcd(285, 315) = 15$、$\gcd(15, 590) = 5$ なので

   $\gcd(285, 315, 590) = 5$

   である。左辺の各項はすべて $5$ の倍数なので、整数 $a, b, c$ をどう選んでも左辺全体は $5$ の倍数になる。

2. 2

   右辺に整除条件を当てはめる。 1 次不定方程式 $\sum k_i x_i = N$ が整数解をもつのは、$\gcd(k_1,\dots,k_n)$ が $N$ を割り切るとき、かつそのときに限る。ここでは

   $21{,}806 = 5 \times 4361 + 1$

   なので $21{,}806 \equiv 1 \pmod 5$ となり、最大公約数の条件が満たされない。

3. 3

   結論：整数解は存在しない。 左辺は $\equiv 0 \pmod 5$、右辺は $\equiv 1 \pmod 5$ なので、どんな整数の組もこの方程式を満たせない。ここで「両辺を 5 で割る」ことは できない 点に注意する——$\tfrac{21806}{5} = 4361.2$ は整数ではないので、$57a + 63b + 118c = 4361$ と書くのは知らぬ間に別の問題にすり替えることになる。

4. 4

   代わりに実数の解集合を記述する。 $\mathbb{R}$ 上では未知数 3 つに対して式が 1 本なので、解は $\mathbb{R}^3$ 内の平面をなす。$a$ について解けば媒介変数表示

   $a = \frac{21806 - 315b - 590c}{285}, \qquad b, c \in \mathbb{R}$

   が得られる。自由な媒介変数が 2 つあり、平面として予想どおりである。

5. 5

   代表点で確かめる。 $b = c = 0$ とすると $a = \tfrac{21806}{285} = 76.5123$ となり、$285 \times 76.5123 = 21806.0$ である。$b = 10$、$c = 5$ とすると $a = \tfrac{21806 - 3150 - 2950}{285} = \tfrac{15706}{285} = 55.1088$ となり、$285(55.1088) + 3150 + 2950 = 21806.0$ である。どちらの $a$ も整数ではなく、5 を法とする障害と整合する。

6. 6

   どんなときなら整数解が存在するか。 右辺が $21{,}805$ や $21{,}810$——つまり $5$ の倍数——なら最大公約数の判定を通り、整数解が存在する。たとえば $285(1) + 315(0) + 590(36) = 21{,}525$ は格子点がどれほど近くまで来ているかを示している。整数解を排除しているのは、まさに $21{,}806$ というこの値である。