連立方程式 a + b + c = 100, 600a + c = 1200, 600b + 599c = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   最も消しやすい文字を選ぶ。 2 つ目の式には $a$ と $c$ しか含まれていないので、そこから分数を出さずに $c$ を $a$ で表せる。

   $c=1200-600a$

   項の少ない式から始めれば計算が小さく収まる。

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   3 つ目の式に代入して $b$ を $a$ で表す。

   $600b+599(1200-600a)=0\ \Longrightarrow\ 600b+718800-359400a=0$

   $600b=359400a-718800\ \Longrightarrow\ b=599a-1198$

   $359400$ も $718800$ も $600$ で割り切れるので、$b$ は厳密な 1 次式のままである。

3. 3

   両方を 1 つ目の式に代入する。

   $a+(599a-1198)+(1200-600a)=100$

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   $a$ がすべて消えるのを見る。 $a$ の項をまとめると $1+599-600=0$、定数項をまとめると $-1198+1200=2$ である。したがってこの式は

   $2=100$

   に帰着し、これは偽である。$a$ はもう式に残っていないので、これを救う $a$ の値も存在しない。

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   この矛盾を正しく読み取る。 文字が消えて偽の等式が残ったということは、この連立が矛盾している、すなわち解がまったくないということである。（残ったのが $0=0$ のような真の等式であれば、逆に解が無限個あるという結論になる。）幾何的には、3 つの平面に共通点が存在しない。

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   具体的な値で妥当性を確かめる。 $a=2$ とすると $c=1200-1200=0$、$b=1198-1198=0$ となり、2 つ目と 3 つ目の式は成り立つが $a+b+c=2\neq 100$ である。$a=1$ とすると $c=600$、$b=-599$ で、やはり $a+b+c=2$ になる。どの $a$ をとっても和は $2$ に固定されており、これはまさに式変形が予告したとおりである。