連立方程式 3x + 2y + 5z = 7、x + 2y + 5z = 4、−x + 3y + z = 2、3x + 4y + 5z = 32 を代入法で解け。

Step-by-step solution

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   この連立方程式が優決定であることに気づく。 方程式は 4 本あるのに未知数は 3 個しかない。このような連立方程式はふつう解をもたない。4 本目は未知数が吸収できる数より 1 つ多い制約だからである。そのため、そもそも方程式たちが両立するのかを判定すること自体が作業の一部になる。

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   式 (2) を x について解く。 $x+2y+5z=4$ から $x=4-2y-5z$ が得られる。式 (2) を選ぶのが自然なのは、そこでの $x$ の係数が $1$ であり、分数が現れないからである。

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   残り 3 本に代入する。 (1) では $3(4-2y-5z)+2y+5z=7$ が $4y+10z=5$ に落ちる。これを (A) と呼ぶ。(3) では $-(4-2y-5z)+3y+z=2$ から $5y+6z=6$ が出る。これを (B) と呼ぶ。(4) では $3(4-2y-5z)+4y+5z=32$ から $2y+10z=-20$ が出る。これを (C) と呼ぶ。

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   (A) と (C) の組を解く。 (A) から (C) を引くと $z$ が消える：$(4y+10z)-(2y+10z)=5-(-20)$ なので $2y=25$、すなわち $y=\frac{25}{2}$ である。これを (C) に入れると $25+10z=-20$ となり、$z=-\frac92$ を得る。

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   その値を式 (B) で試す。 $5\left(\frac{25}{2}\right)+6\left(-\frac92\right)=\frac{125}{2}-27=\frac{71}{2}=35.5$ となるが、(B) が要求するのは $6$ である。簡約した 3 本の方程式は同時には成り立たない。

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   結論を述べ、階数で確認する。 連立方程式から導かれる帰結が別の式と矛盾するので、この連立方程式は矛盾している。係数行列の階数は $3$ であるのに対し、拡大係数行列の階数は $4$ であり、これがまさに「解なし」を与えるクロネッカー・カペリの判定条件である。具体的には $(1)-(2)$ から $x=\frac32$ が、$(4)-(1)$ から $y=\frac{25}{2}$ が定まり、続いて (2) から $z=-\frac92$ が定まる。これらの値を式 (3) に入れると $-\frac32+\frac{75}{2}-\frac92=\frac{63}{2}=31.5$ となり、$2$ にはならない。