x と y を x + y = 1 を満たす正の実数とする。正しいのはどれか。A：xy の最小値は 1/4。B：1/x + 1/y の最小値は 4。C：x² + y² の最小値は 1/2。D：√x + √y の最大値は 2。

Step-by-step solution

1. 1

   自由度が 1 であることを押さえる。 $x+y=1$ で両方とも正なので、$0<t<1$ として $x=t$、$y=1-t$ と書ける。以下の量はすべて $t$ だけの関数であり、対称性から極値はふつう $t=\tfrac12$ か、極限 $t\to 0^{+}$、$t\to 1^{-}$ で現れる。

2. 2

   A は誤り——1/4 は xy の最大値である。 相加・相乗平均より $xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^{2}=\dfrac14$ で、等号は $x=y=\tfrac12$ のとき成り立つ。$t\to 0^{+}$ では $xy=t(1-t)\to 0$ なので、$xy$ に正の最小値は存在しない。下限は $0$ である。誤り。

3. 3

   B は正しい。 $x+y=1$ なので

   $\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}$

   であり、前の段階から $xy\le\tfrac14$ なので $\dfrac{1}{xy}\ge 4$ となり、等号は $x=y=\tfrac12$ で成り立つ。正しい。

4. 4

   C は正しい。 $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=1-2xy$ と $xy\le\tfrac14$ を使うと

   $x^{2}+y^{2}\ge 1-2\left(\frac14\right)=\frac12$

   となり、等号はやはり $x=y=\tfrac12$ で成り立つ。正しい。

5. 5

   D は誤り——最大値は 2 ではなく √2 である。 2 乗すると

   $\left(\sqrt x+\sqrt y\right)^{2}=x+y+2\sqrt{xy}=1+2\sqrt{xy}\le 1+2\left(\frac12\right)=2$

   なので $\sqrt x+\sqrt y\le\sqrt2\approx 1.414$ であり、これは $x=y=\tfrac12$ でとる。値 $2$ には決して達しない。誤り。

6. 6

   結論と数値での確認。

   $\boxed{\text{B と C}}$

   $x=y=\tfrac12$ では $xy=0.25$、$\tfrac1x+\tfrac1y=4$、$x^{2}+y^{2}=0.5$、$\sqrt x+\sqrt y=1.414$ である。$x=0.1$、$y=0.9$ では $xy=0.09$、$\tfrac1x+\tfrac1y=11.11>4$、$x^{2}+y^{2}=0.82>0.5$、$\sqrt x+\sqrt y=1.265<1.414$ となり、上のどの主張も述べたとおりに振る舞う。