x² + px + q < 0 の解集合が (−1/2, 1/3) であるとき、qx² + px + 1 > 0 の解集合を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   与えられた解集合を解に読み替える。 $x^{2}+px+q$ の最高次の係数は $+1>0$ なので、放物線は上に開き、2 つの解の間でちょうど負になる。したがって、与えられた区間の端点がその解である：

   $x_1=-\frac12,\qquad x_2=\frac13$

2. 2

   二次式を組み立て直して p と q を読み取る。

   $x^{2}+px+q=\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac13\right)=x^{2}+\left(\frac12-\frac13\right)x-\frac16=x^{2}+\frac16x-\frac16$

   よって

   $p=\frac16,\qquad q=-\frac16$

   （解と係数の関係でも同じ結果になる：$x_1+x_2=-p$、$x_1x_2=q$。）

3. 3

   2 つめの不等式に代入する。

   $-\frac16x^{2}+\frac16x+1>0$

4. 4

   分数を払い、符号を整える。 $6$ を掛ける（正なので向きは変わらない）：

   $-x^{2}+x+6>0$

   次に $-1$ を掛けるが、これは不等号を反転させる：

   $x^{2}-x-6<0$

5. 5

   因数分解して解く。

   $(x-3)(x+2)<0$

   上に開く放物線は 2 つの解の間で負になるので、

   $-2<x<3$

   $\boxed{(-2,\,3)}$

6. 6

   端点と内部の点で確かめる。 $x=0$ では $q(0)+p(0)+1=1>0$ ✓（内側）。$x=3$ では $-\tfrac16(9)+\tfrac16(3)+1=-\tfrac32+\tfrac12+1=0$ なので $x=3$ は除かれ、開いた端点にふさわしい。$x=4$ では $-\tfrac{16}{6}+\tfrac46+1=-\tfrac{6}{6}=-1<0$ ✓（外側）。