次のうち正しいのはどれか。A：a > 0 で a³ + 1/a² の最小値は 2√a。B：x > 1 で x + 1/x の最小値は 2。C：x > 0 で √x + 1/√x ≥ 2。D：x < 5/4 で y = 4x − 2 + 1/(4x − 5) の最小値は 1。

Step-by-step solution

1. 1

   相加・相乗平均が要求する 3 つの条件を思い出す。 $u+v\ge 2\sqrt{uv}$ が本当の最小値を与えるには、各項が正であり、積が一定であり、等号成立点 $u=v$ が定義域に実際に含まれていなければならない。以下の誤った選択肢は、それぞれちょうど 1 つの条件を破っている。

2. 2

   A は不適：評価が定数になっていない。 相加・相乗平均から $a^{3}+\dfrac{1}{a^{2}}\ge 2\sqrt{a^{3}\cdot a^{-2}}=2\sqrt{a}$ が得られるが、$2\sqrt a$ はなお $a$ に依存するので最小値ではない——動く的である。（真の最小値は $3a^{2}=2a^{-3}$、すなわち $a=(2/3)^{1/5}$ でとる。）誤り。

3. 3

   B は不適：等号が定義域から外れている。 $x+\dfrac1x\ge 2$ で等号は $x=1$ のときだけ成り立つが、定義域は $x>1$ である。$x>1$ でこの関数は狭義単調増加なので、$>2$ の値をとるが決して $2$ に達しない。下限は $2$ だが最小値は存在しない。誤り。

4. 4

   C は正しい。 $t=\sqrt{x}>0$ とおくと $t+\dfrac1t\ge 2\sqrt{t\cdot\tfrac1t}=2$ で、等号は $t=1$ すなわち $x=1$ のとき成り立ち、これは定義域 $x>0$ に含まれる。よってこの不等式はすべての $x>0$ で成り立ち、しかも最良である。正しい。

5. 5

   D は不適：1 は最小値ではなく最大値である。 $t=4x-5$ とおくと $x<\tfrac54$ より $t<0$ である。$4x-2=t+3$ なので

   $y=t+3+\frac1t=3+\left(t+\frac1t\right)$

   となる。$t<0$ では $t+\dfrac1t=-\left(|t|+\dfrac{1}{|t|}\right)\le -2$ なので $y\le 1$ である。よって $1$ は $y$ の最大値であり（$t=-1$ すなわち $x=1$ でとる）、最小値ではない。誤り。

6. 6

   結論する。

   $\boxed{\text{C}}$

   数値での確認：D については $x=1$ で $y=4-2+\tfrac{1}{-1}=1$、$x=0$ で $y=-2-\tfrac15=-2.2<1$ となり、$1$ が最大値であることが裏づけられる。B については $x=1.1$ で $1.1+0.909=2.009>2$ となり、値は $2$ に向かって減っていくが決して到達しない。