|x + 1| + |x − 2| の最小値はいくつか。

Step-by-step solution

1. 1

   各絶対値を距離として読む。 $|x-a|$ は数直線上で $x$ から $a$ までの距離なので、この式を

   $|x-(-1)|+|x-2|$

   と書き直す。すると、これは点 $x$ から 2 つの定点 $-1$ と $2$ までの距離の合計である。この読み替えによって、3 通りの場合分けが 1 つの幾何的な事実に置き換わる。

2. 2

   距離の合計が最小になる場所を考える。 $x$ が $-1$ と $2$ の間にあれば、2 つの距離の和はちょうど 2 点の間隔に等しい。$x$ がその区間の外にあれば、いったん引き返さねばならないので合計は真に大きくなる。

3. 3

   間隔を計算する。

   $2-(-1)=3$

   したがって最小値は $3$ であり、$[-1,2]$ に属するすべての $x$ で達成される——1 点だけではない。

   $\boxed{3}$

4. 4

   代数的な場合分けで確認する。 $x<-1$ のとき：$-(x+1)-(x-2)=1-2x>3$。$-1\le x\le 2$ のとき：$(x+1)-(x-2)=3$。$x>2$ のとき：$(x+1)+(x-2)=2x-1>3$。3 つの片は値 $3$ と、中央が平らであることを裏づける。

5. 5

   三角不等式でも確かめる。 $|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|\ge|(x+1)+(2-x)|=3$ であり、等号が成り立つのはちょうど $x+1$ と $2-x$ が同符号のとき、すなわち $-1\le x\le 2$ のときで、場合分けの結果と一致する。値の抜き取り：$x=0$ では和は $1+2=3$、$x=5$ では $6+3=9$ である。