−2 < a < 1 かつ 1 < b < 2 のとき、正しいのはどれか。A：−4 < a − b < 0。B：−2 < ab < 2。C：−2 < a/b < 1。D：ab − 2 < a − 2b。

Step-by-step solution

1. 1

   引き算の正しい扱い方を確認する。 不等式は足し合わせられるが、そのまま引くことはできない。代わりに 2 つ目の符号を先に変える。$1<b<2$ から $-2<-b<-1$ が得られ、これを $-2<a<1$ に加えると

   $-4<a-b<0$

   となる。よって A は正しい。しかもこの評価は最良である（$a\to-2,b\to 2$ および $a\to 1,b\to 1$ で境界に近づく）。

2. 2

   B は誤り——積は長方形の隅で調べる。 $a$ が負にもなりうるので、$ab$ の極値は長方形の隅で現れる。$ab$ は $(-2)(2)=-4$ から $(1)(2)=2$ までの範囲をとるので

   $-4<ab<2$

   である。$-2$ より小さい値は実際に現れる：$a=-1.8$、$b=1.9$ なら $ab=-3.42$ である。誤り。

3. 3

   C は正しい。 $b>0$ なので割っても向きは保たれ、商は $a$ が最大で $b$ が最小のとき最大、$a$ が最も負で $b$ が最小のとき最小になる。

   $\frac{a}{b}>\frac{-2}{1}=-2,\qquad \frac{a}{b}<\frac{1}{1}=1$

   よって $-2<\dfrac ab<1$ である。正しい。

4. 4

   D は誤り——積の形に変形する。 主張 $ab-2<a-2b$ は次と同値である。

   $ab-a+2b-2<0\quad\Longleftrightarrow\quad a(b-1)+2(b-1)<0\quad\Longleftrightarrow\quad (a+2)(b-1)<0$

   ところが $a>-2$ より $a+2>0$、$b>1$ より $b-1>0$ なので、許されるどの組でも積は正である。したがってこの不等式は常に偽である。誤り。

5. 5

   結論と、具体例による検証。

   $\boxed{\text{A と C}}$

   $a=0$、$b=1.5$ をとると、$a-b=-1.5\in(-4,0)$ ✓、$ab=0\in(-4,2)$（これは $(-2,2)$ にも入る。B を反証するには隅での検証が必要なのはこのためである）、$a/b=0\in(-2,1)$ ✓、そして $ab-2=-2$ に対し $a-2b=-3$ なので $-2<-3$ は偽 ✓ となり、D が成り立たないことが確かめられる。