関数 f(x) = |x − 5| を左に 4 だけ平行移動する。移動後の関数を書け。

Step-by-step solution

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   横の平行移動の規則と、それが逆向きに見える理由を思い出す。 グラフを $h$ だけ左に移すには $x$ を $x+h$ で置き換え、右に移すには $x$ を $x-h$ で置き換える。理由は、新しい関数が同じ出力に より早く、つまりより小さい $x$ で到達しなければならず、そのぶん入力を先送りする必要があるからである。

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   現在の頂点を求める。 $\left|x-5\right|$ は $x=5$ で 0 になるので、V 字の頂点は $(5,0)$ にある。この 1 点を追うのが、どんな平行移動でも最も速い検算になる。

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   置き換え $x\mapsto x+4$ を適用する。

   $f(x+4)=\left|(x+4)-5\right|=\left|x-1\right|$

   絶対値の中で 2 つの定数がまとまる：$+4-5=-1$。

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   頂点が正しい向きに動いたか確かめる。 新しい関数 $\left|x-1\right|$ の頂点は $(1,0)$ で、$5-4=1$ ✓——要求どおり左に 4 である。もし誤って $x-4$ を使っていたら $\left|x-9\right|$ となり、頂点は $9$、すなわち 右 に 4 動いてしまう。

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   他が何も変わっていないことを確認する。 変わったのは横方向の位置だけなので、形は傾き $\pm1$ の V 字のままで、グラフが $x$ 軸より下に沈むこともない。たとえば $f(0)$ は $5$ から $1$ に変わるが、この新しい値はもとの関数を $0+4=4$ で評価した値 $\left|4-5\right|=1$ ✓ に等しい。