方程式 |x| + |x − 1| = 3 を解け。

Step-by-step solution

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   場合の切れ目を見つける。 各絶対値は、中身が 0 になるところで式が変わる。$|x|$ については $x=0$、$|x-1|$ については $x=1$ である。この 2 点が数直線を $x<0$、$0\le x<1$、$x\ge 1$ に切り分ける。各区間の内部ではどちらの絶対値もふつうの一次式に置き換えられる。これこそが場合分けの狙いである。

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   場合 1：$x<0$ のとき。 中身はどちらも負なので $|x|=-x$、$|x-1|=1-x$ となる：

   $-x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ -2x+1=3\ \Longrightarrow\ x=-1$

   ここで場合の条件を確かめる。$-1<0$ ✓ なので、$x=-1$ は正真正銘の解である。

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   場合 2：$0\le x<1$ のとき。 ここでは $|x|=x$ だが $|x-1|=1-x$ である：

   $x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ 1=3$

   $x$ の項が打ち消し合い、残った等式は偽なので、この区間は何も生まない。図形的には、$|x|+|x-1|$ は $x$ から $0$ までと $1$ までの距離の合計であり、その間ではどこでもちょうど $1$ に等しい。$3$ に届くことは決してない。

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   場合 3：$x\ge 1$ のとき。 中身はどちらも非負なので $|x|=x$、$|x-1|=x-1$ となる：

   $x+(x-1)=3\ \Longrightarrow\ 2x=4\ \Longrightarrow\ x=2$

   条件を確かめる。$2\ge 1$ ✓ なので $x=2$ は有効である。

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   候補はつねに自分の場合の条件に照らして吟味する。 ある場合の方程式は満たすが別の区間に属している値をそのまま残してしまうのが、ここでの定番の誤りである。生き残った 2 つの値はどちらも条件を通り、代入し直しても確かめられる：$|-1|+|-2|=1+2=3$ ✓、$|2|+|1|=2+1=3$ ✓。

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   解集合を書く。 $x=-1$ または $x=2$。解がちょうど 2 個になる理由は距離の解釈からわかる。組 $\{0,1\}$ からの距離の合計が $3$ になる点が必要で、それは線分の両側にそれぞれ 1 点ずつ現れるからである。