関数 f(x) = |x − 4| を上に 6、右に 2 だけ平行移動する。移動後の関数の式を書け。

Step-by-step solution

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   出発点の位置を確認する。 絶対値の外に定数が無いので、$f(x)=|x-4|$ の頂点は

   $(4,0)$

   で、ちょうど $x$ 軸の上に載っており、2 本の腕は傾き $-1$ と $+1$ で立ち上がる。

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   右に 2 平行移動する。 関数の中の $x$ を $x-2$ で置き換える。

   $\left|(x-2)-4\right|=|x-6|$

   2 つの引き算がまとまって $6$ のずれになるので、折れ点は $x=6$ に移る。

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   上に 6 平行移動する。 出力に $6$ を加える。

   $|x-6|+6$

   もとの式には縦方向の定数が無かったので、この移動だけが $+6$ を与えている。

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   最終的な式と頂点を書く。

   $f(x)=|x-6|+6,\qquad \text{頂点 }(6,6)$

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   検算と、そこから分かること。 もとの点 $(4,0)$ は $(6,6)$ に移るはずで、$|6-6|+6=6\;\checkmark$。もとの $(0,4)$ は $(2,10)$ に移るはずで、$|2-6|+6=4+6=10\;\checkmark$。最小値が $6>0$ になったので移動後のグラフは $x$ 軸に決して触れないが、もとのグラフはちょうど 1 点で触れていた——縦の移動だけが引き起こした、実質的な振る舞いの変化である。