2 つの不等式 x^2 + x - 6 < 0 と x^2 + 4x - 12 > 0 を同時に満たす実数 x の範囲を求めよ。

Step-by-step solution

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   合わせる前に、それぞれの不等式を単独で解く。 不等式の連立は共通部分なので、方針は「各式の解集合を求め、その両方に入る $x$ だけを残す」ことである。まず 1 つ目を因数分解する。

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

   境界の値は $x=-3$ と $x=2$ である。

2. 2

   放物線の形から 1 つ目の解集合を読み取る。 最高次の係数は $+1$ なので放物線は下に凸であり、軸より下に沈むのは 2 解の狭義の間だけである。

   $(x+3)(x-2)<0\quad\Longleftrightarrow\quad -3<x<2$

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   2 つ目の不等式を因数分解して解く。 積が $-12$、和が $4$ になる組を探すと $6$ と $-2$ である。

   $x^{2}+4x-12=(x+6)(x-2)$

   境界の値は $x=-6$ と $x=2$ である。今度は式が軸より上にある範囲がほしく、下に凸の放物線ではそれは 2 解の外側である。

   $x<-6\quad\text{または}\quad x>2$

4. 4

   2 つの集合の共通部分をとる。 候補となる値は $(-3,2)$ にあり、かつ $(-\infty,-6)\cup(2,\infty)$ にもなければならない。

   $(-3,2)\cap(-\infty,-6)=\varnothing$

   である。$-6$ より小さい数はすでに $-3$ より小さいからである。また

   $(-3,2)\cap(2,\infty)=\varnothing$

   である。$(-3,2)$ は $2$ の手前で止まり、もう一方はそのすぐ先から始まるからである。共有する境界 $x=2$ はどちらの不等式も等号を含まないので除外され、共通部分を救うことはできない。

5. 5

   結論を述べる。 両方の不等式を満たす実数は存在しないので、解集合は空である。

   $x\in\varnothing$

   $-10$ から $10$ まで $0.001$ 刻みで $x$ を走査しても、両方の条件を通る値は 1 つも見つからず、この結果と一致する。