不等式 x² − 2x − 3 < 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に因数分解する。 積が $-3$、和が $-2$ になる 2 数を探す。積が負なので 2 数の符号は逆であり、$-3$ と $+1$ が当てはまる。

   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$

   したがって不等式は $(x-3)(x+1)<0$ になる。

2. 2

   臨界点を求める。

   $x-3=0\Rightarrow x=3,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   これで数直線が $(-\infty,-1)$、$(-1,3)$、$(3,\infty)$ に分かれ、どの区間の内部でも積は符号を変えられない。

3. 3

   各区間で値を 1 つずつ試す。 $x=-2$ では $(-5)(-1)=5>0$。$x=0$ では $(-3)(1)=-3<0$。$x=4$ では $(1)(5)=5>0$。よって並びは正・負・正であり、負になるのは真ん中だけである。

4. 4

   グラフの形から裏づける。 最高次の係数は $+1$ なので放物線は下に凸であり、2 解の間で軸より下に沈み、外側では上にとどまる。これは符号の検査とぴったり合い、解さえ分かればこちらのほうが速く答えが見える。

5. 5

   端点を除く。 不等号は等号を含まないので、式がちょうど $0$ になる解そのものは含まれない。

   $-1<x<3,\qquad(-1,3)$

6. 6

   走査して検算する。 $[-10,10]$ 上の $4001$ 点で $x^2-2x-3$ を厳密な分数のまま計算し、符号を $(-1,3)$ と突き合わせるとすべての点で一致する ✓。さらに確かめると、頂点は $x=1$（2 解の中点）にあり、その値は $1-2-3=-4$ で、この式が取りうる最も小さい値である。