不等式 x² − 4x − 5 > 0 を解き、解集合を区間で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   片側を 0 にしてから因数分解する。 この不等式はすでに右辺が $0$ なので、そのまま二次式を因数分解すればよい。積が $-5$、和が $-4$ になる 2 数が必要で、それは $-5$ と $+1$ である。よって

   $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$

   となり、不等式は $(x-5)(x+1)>0$ になる。

2. 2

   臨界点、すなわち各因数の零点を求める。 各因数を 0 とおくと

   $x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   積が符号を変えるのはちょうどどれかの因数が符号を変えるところなので、式が符号を変えうるのはこの 2 点だけである。

3. 3

   数直線を、そこからできる 3 つの区間に分ける。

   $(-\infty,-1),\qquad (-1,5),\qquad (5,\infty)$

   各区間の内部では $(x-5)(x+1)$ の符号は一定なので、区間ごとに試験値 1 つで決着がつく。

4. 4

   各区間で 1 点ずつ試す。

   $x=-2:\ (-7)(-1)=7>0\quad\checkmark$

   $x=0:\ (-5)(1)=-5<0\quad\times$

   $x=6:\ (1)(7)=7>0\quad\checkmark$

   正・負・正という並びは、相異なる 2 解をもつ下に凸の放物線から当然に予想されるものである。

5. 5

   解そのものを除いて解集合を書く。 不等号は等号を含まないので（$\ge 0$ ではなく $>0$）、式が 0 に等しくなる点 $x=-1$ と $x=5$ は含まれない。

   $x<-1\ \text{ または }\ x>5,\qquad (-\infty,-1)\cup(5,\infty)$

   和集合であることに注意する。解は 1 つの区間ではなく 2 本の半直線なので、$-1>x>5$ のようにつないだ不等式では書けない。