連立不等式 −x² + 3x + 4 ≥ 0 かつ 3x² − 2x ≥ 0 を解き、解集合を区間の和集合で答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   方針：それぞれを単独で解いてから共通部分をとる。 かつで結ばれた連立不等式は両方の主張が成り立つ場所でしか満たされないので、答えは 2 つの解集合の共通部分になる。1 行にまとめたまま同時に解くことはできず、確実なのは符号の分析を 2 回別々に行い、最後に数直線 1 本にまとめる方法である。

2. 2

   1 つ目の不等式は最高次の係数を正にする。 $-x^{2}+3x+4\ge 0$ の両辺に $-1$ を掛けると不等号の向きが逆になる。

   $x^{2}-3x-4\le 0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+1)\le 0.$

   2 つの因数の積が $\le 0$ になるのは 2 解の間であり、下に凸の放物線は 2 解の間で軸より下にあるので

   $-1\le x\le 4.$

3. 3

   2 つ目の不等式は共通因数をくくり出して因数分解する。 定数項がないので、解の公式に手を伸ばすより $x$ をくくり出すほうがよい。

   $3x^{2}-2x=x(3x-2)\ge 0,$

   解は $x=0$ と $x=\tfrac23$ である。この放物線も下に凸なので、2 解の外側で $\ge 0$ になる。

   $x\le 0\quad\text{または}\quad x\ge \tfrac23.$

   向きが手順 2 とは逆になっていることに注意する。下に凸の放物線に対する $\le$ と $\ge$ の違いは、まさにここに出る。

4. 4

   2 つの集合を 1 本の数直線の上で交える。 1 つ目の集合は $[-1,4]$、2 つ目は $(-\infty,0]\cup[\tfrac23,\infty)$ である。1 つ目を 2 つ目の各部分で切ると

   $[-1,4]\cap(-\infty,0]=[-1,0],\qquad [-1,4]\cap\left[\tfrac23,\infty\right)=\left[\tfrac23,4\right].$

   よって解は $[-1,0]\cup\left[\tfrac23,4\right]$ である。すき間 $\left(0,\tfrac23\right)$ が除かれるのは、そこで $x(3x-2)<0$ になるからである。

5. 5

   4 つの端点と各領域の 1 点ずつを検算する。 $x=0.3$（すき間の内側）では $-0.09+0.9+4=4.81\ge0$ ✓ だが $3(0.09)-0.6=-0.33<0$ ✗ なので、$0.3$ が除かれているのは正しい。$x=-0.5$ では $-0.25-1.5+4=2.25\ge0$ ✓ かつ $0.75+1=1.75\ge0$ ✓。$x=2$ では $6\ge0$ ✓ かつ $12-4=8\ge0$ ✓。$x=4.5$ では $-20.25+13.5+4<0$ ✗ である。4 つの端点はどれかの因数で等号が成り立つので、閉じた集合に属する。