連立方程式 2(x - y) + x = 95, (x - y) + 3(x + y) = 150 を x と y について解け。

Step-by-step solution

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   解法を選ぶ前にかっこを展開する。 どちらの式も標準形ではないので、加減法も代入法もまだ適用できない。1 つ目の式を分配すると

   $2(x-y)+x=2x-2y+x=3x-2y,$

   となるので、1 つ目の式は $3x-2y=95$ である。展開する前に消去しようとするのが、この種の連立で失敗する典型的な原因である。

2. 2

   2 つ目の式を展開して簡単にする。 $3$ を分配すると

   $(x-y)+3(x+y)=x-y+3x+3y=4x+2y,$

   となるので、2 つ目の式は $4x+2y=150$ である。係数がすべて偶数なので全体を $2$ で割る。

   $2x+y=75.$

   ここで簡約しておけば以降の計算がすべて小さくなる——見た目の問題ではなく、実際に有用な習慣である。

3. 3

   係数が 1 の文字があるので代入法を選ぶ。 連立は

   $3x-2y=95,\qquad 2x+y=75.$

   である。2 つ目の式の $y$ は係数が $1$ なので、これについて解いても分数は現れない。

   $y=75-2x.$

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   代入して $x$ について解く。 $y=75-2x$ を $3x-2y=95$ に入れると

   $3x-2(75-2x)=95\;\Longrightarrow\;3x-150+4x=95\;\Longrightarrow\;7x=245\;\Longrightarrow\;x=35.$

   となる。符号の要点は $-2\times(-2x)=+4x$ である。負が 2 つ重なるので $x$ の項は打ち消し合わずに足し合わされる。

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   代入し戻し、元の式で検算する。 $2x+y=75$ に $x=35$ を入れると $70+y=75$ なので $y=5$ である。簡単にした式ではなく、手を付けていない元の式で確認すると

   $2(35-5)+35=60+35=95 ✓,\qquad (35-5)+3(35+5)=30+120=150 ✓.$

   となる。元の式で検証することこそが、ステップ 1 の展開で起きた誤りを捕まえてくれる。