x + 2y − 2z = 0, 2x − y + kz = 0, 3x + y − z = 0 という連立方程式が自明でない解をもつのは、k がどのような値のときか。それぞれの場合について解をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   どんな連立方程式かを見きわめる。 右辺がどれも $0$ なので、この系は同次であり、$(0,0,0)$ は必ず解になる。本当の問題はそれ以外があるかどうかであり、それが起こるのは係数行列式が消えるとき、そのときに限る。

2. 2

   $k$ を含まない 2 本の式で消去する。 第 1 式と第 3 式は既知の係数しか含まないので、まずこの 2 本を使う。第 3 式から

   $y=z-3x,$

   これを第 1 式に代入すると：

   $x+2(z-3x)-2z=x+2z-6x-2z=-5x=0\;\Longrightarrow\;x=0.$

   となる。したがって $k$ の値によらず $x=0$ である——パラメータでは第 1 成分を救えない。

3. 3

   $x=0$ を系に戻す。 $x=0$ のとき第 3 式から $y=z$ が出て、第 2 式は次のようになる：

   $-y+kz=0\;\Longrightarrow\;-z+kz=0\;\Longrightarrow\;(k-1)z=0.$

   あとはすべて、因子 $k-1$ が 0 かどうかにかかっている。

4. 4

   2 つの場合に分ける。 $k\neq 1$ なら $k-1\neq 0$ から $z=0$ が強制され、よって $y=0$ となって解は自明なものだけである：

   $(x,y,z)=(0,0,0).$

   $k=1$ のときは $(k-1)z=0$ が自動的に成り立つので、$z=t$ が自由にとれて $y=t$、$x=0$ となる：

   $(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$

5. 5

   行列式で確認する。 係数行列式を第 1 行で展開すると

   $\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&-1&k\\3&1&-1\end{vmatrix}=1(1-k)-2(-2-3k)-2(2+3)=1-k+4+6k-10=5k-5=5(k-1).$

   これが 0 になるのはちょうど $k=1$ のときで、場合分けと完全に一致する。$k=1$ のとき手早く検算すると、$(0,1,1)$ について $0+2-2=0$ ✓、$0-1+1=0$ ✓、$0+1-1=0$ ✓ となる。