連立方程式 3x + 2y = 5、2x − 3y = −1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   加減法を選び、消す変数を決める。 どちらの式にも係数 $1$ が無いので、代入法では分数が出る。加減法のほうがすっきりする。$y$ の係数は $2$ と $-3$ で最小公倍数は $6$、しかもすでに符号が逆なので、定数倍するだけで足し算により打ち消し合う。

2. 2

   各式を定数倍する。 第 1 式を $3$ 倍、第 2 式を $2$ 倍する：

   $3(3x+2y=5)\;\Longrightarrow\;9x+6y=15,$

   $2(2x-3y=-1)\;\Longrightarrow\;4x-6y=-2.$

   右辺も含めてすべての項を掛けなければならない——$15$ と $-2$ が、この段階でよく間違えるところである。

3. 3

   2 式を足して $y$ を消去する。 $+6y$ と $-6y$ が打ち消し合う：

   $(9x+4x)+(6y-6y)=15+(-2)\;\Longrightarrow\;13x=13\;\Longrightarrow\;x=1.$

4. 4

   後退代入で $y$ を求める。 元の第 1 式を使うと：

   $3(1)+2y=5\;\Longrightarrow\;2y=2\;\Longrightarrow\;y=1.$

   定数倍した式ではなく元の式に代入すれば、ステップ 2 の誤りが $y$ に黙って波及することはない。

5. 5

   元の 2 式で確かめる。 第 1 式：$3(1)+2(1)=5$ ✓。第 2 式：$2(1)-3(1)=-1$ ✓。図形的には 2 直線の傾きは $-\tfrac32$ と $\tfrac23$ で、互いに負の逆数なので 1 点 $(1,1)$ で直交する——行列式が $3(-3)-2(2)=-13$ とゼロでないことが保証するとおり、解は一意である。