組立除法で x^3 + 3x^2 - 6x - 8 を x - 1 で割れ。商と余りを答え、x - 1 が因数かどうかも述べよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $c=1$ として準備する。 $x-1=x-(1)$ なので隅の値は $c=1$、係数の行は

   $1,\;3,\;-6,\;-8$

   である。割る前に剰余の定理で余りを予想しておく。$f(1)=1+3-6-8=-10$ である。答えを先に知っておけば、表は勘に頼る作業ではなく確認の作業になる。

2. 2

   掛けて足す操作を一巡させる。 $c=1$ なので掛け算が自明になり、仕組みを見るのにちょうどよい例である。

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 1 & 3 & -6 & -8\\ & & 1 & 4 & -2\\ \hline & 1 & 4 & -2 & -10\end{array}$

   $1$ を下ろす。$1\cdot 1=1$ で $3+1=4$、$4\cdot 1=4$ で $-6+4=-2$、$-2\cdot 1=-2$ で $-8+(-2)=-10$ となる。

3. 3

   下の行を商と余りに分ける。 最後の値 $-10$ が余り、前の 3 つが次数 $2$ の商の係数である。

   $\text{商}=x^2+4x-2,\qquad \text{余り}=-10$

   予想した $f(1)=-10$ と一致するので、計算は正しい。

4. 4

   割り算の式を書く。 多項式の割り算は 2 通りの同値な形で記録できる。帯分数のような形と、積プラス余りの等式である。

   $\frac{x^3+3x^2-6x-8}{x-1}=x^2+4x-2-\frac{10}{x-1}$

   $x^3+3x^2-6x-8=(x-1)(x^2+4x-2)-10$

   検算に使うべきなのは 2 つ目のほうである。分数を含まないからである。

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   因数かどうかに答え、確認する。 余りが $-10\ne 0$ なので、因数定理により $x-1$ は因数ではなく、$x=1$ も解ではない。等式を展開すればどちらの数も裏づけられる。

   $(x-1)(x^2+4x-2)=x^3+4x^2-2x-x^2-4x+2=x^3+3x^2-6x+2$

   であり、$x^3+3x^2-6x+2-10=x^3+3x^2-6x-8\;\checkmark$ となる。実際の解が必要なら $8$ の約数を順に試すことになる。ここでは $f(1)\ne 0$ が $x=1$ を除外しただけである。