組立除法で x^3 - 4x + 5 を x - 2 で割り、商と余りを答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   始める前に欠けている冪を埋める。 割られる式には $x^2$ の項がないので、次のように書く。

   $x^3+0\cdot x^2-4x+5\;\Longrightarrow\; 1,\;0,\;-4,\;5$

   3 次式なら係数の行には常に 4 つの値が必要である。$0$ を省くと、表は別の多項式の割り算を計算してしまう。

2. 2

   剰余の定理で余りを予想する。 除数が $x-2$ なので $c=2$ であり、この割り算の余りはそこでの多項式の値に等しくなければならない。

   $f(2)=2^3-4(2)+5=8-8+5=5$

   したがって 0 でない余り $5$ が予想され、$x-2$ は因数にならない。

3. 3

   $c=2$ で表を回す。

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & 0 & -4 & 5\\ & & 2 & 4 & 0\\ \hline & 1 & 2 & 0 & 5\end{array}$

   $1$ を下ろす。$1\cdot 2=2$ で $0+2=2$、$2\cdot 2=4$ で $-4+4=0$、$0\cdot 2=0$ で $5+0=5$ となる。予想した余り $5$ が最後の列に現れている。

4. 4

   下の行を商に読み替える。 $1,\,2,\,0$ は 2 次式の係数である。

   $\text{商}=x^2+2x+0=x^2+2x=x(x+2),\qquad \text{余り}=5$

   末尾の $0$ は商に定数項がないことを意味し、だからこそこれほどきれいに因数分解できる。

5. 5

   割り算の等式を書いて検算する。

   $\frac{x^3-4x+5}{x-2}=x^2+2x+\frac{5}{x-2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^3-4x+5=(x-2)(x^2+2x)+5$

   積を展開すると $(x-2)(x^2+2x)=x^3+2x^2-2x^2-4x=x^3-4x$ となり、$5$ を足せば元の式に戻る $\checkmark$。余りが 0 でないので、$x=2$ は $x^3-4x+5$ の解ではない。