組立除法計算機

組立除法とは、多項式 $p(x)$ を一次因数 $x - k$ で割るための近道です。筆算の割り算より速く、書く量が少ないだけで同じ商と余りを生み出します。

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ を $x - k$ で割ると、組立除法は次を生み出します。

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

ここで $q(x)$ は商（$n - 1$ 次）、$r$ は定数の余りです。

主な用途:

1. 除数が一次の $x - k$ のときの素早い多項式の割り算。
2. $p(k)$ の評価 — 剰余定理により $p(k) = r$ なので、余りはまさに関数値です。
3. 多項式の因数分解 — $r = 0$ なら $(x - k)$ は因数であり、$q(x)$ が余因子を教えてくれます。
4. 有理根定理と組み合わせた有理根の発見。

準備

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ を $x - k$ で割るには:

1. 除数のゼロ $k$ を左に書きます。
2. $p(x)$ の係数を右に並べます。欠けている項にはゼロを含めます。

アルゴリズム

1. 最初の係数（$a_n$）をそのまま下ろします。
2. $k$ を掛け、その結果を次の係数（$a_{n-1}$）の下に書きます。
3. 列を足します。和を一番下の行に書きます。
4. 繰り返します: その和に $k$ を掛け、次の係数の下に書き、足します。
5. すべての係数が終わるまで続けます。

結果の読み方

一番下の行には次が含まれます。

• 最初の $n$ 個のエントリ: 商 $q(x)$ の係数（次数の降順）。
• 最後のエントリ: 余り $r$。

例: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

$x^3 + 0x^2 - 4x + 5$ の係数: $[1, 0, -4, 5]$。除数のゼロ: $k = 2$。

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

商: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$。余り: $5$。

よって $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$。

剰余定理との関係

$p(x) = (x - k)q(x) + r$ の余り $r$ は $p(k)$ に等しいです。$x = k$ とおくと:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

よって組立除法は、代入せずに $p(k)$ を評価する素早い方法です。

因数定理

系: $(x - k)$ が $p(x)$ の因数であるのは、$p(k) = 0$ のとき、すなわち組立除法の余りが $0$ のときに限ります。

• ゼロのプレースホルダーを抜かす: $p(x) = x^3 - 4x + 5$ では、欠けている $x^2$ の項に $0$ を含めなければなりません。さもないと列がずれます。
• $k$ の符号の誤り: $x - 2$ で割るには $k = 2$（除数のゼロ）を使います。$x + 3$ で割るには $k = -3$ を使います。
• $ax - k$ の除数には直接使えない: 教えられる組立除法は $x - k$（最高次の係数が1）で機能します。$ax - k$ の場合は先に $a$ を括り出すか、多項式の筆算の割り算を使います。
• 最初の係数を下ろし忘れる: 最初のステップは常に『$a_n$ を下ろす』で、まだ何も掛けません。
• 商の読み違い: 一番下の行の最初の $n$ 個は係数で、次数が1下がります。4次の多項式を $x - k$ で割ると3次の商になります。