組立除法で 2t^3 - t - 15 を t - 1 で割れ。商と余りを答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   欠けている $t^2$ の項を補う。 割られる式は 3 次なので、係数は 4 つ必要である。

   $2t^3+0\cdot t^2-t-15\;\Longrightarrow\; 2,\;0,\;-1,\;-15$

   この $0$ を書き落とすと、$2t^2-t-15$ を割る計算になってしまい、答えの異なる別の問題になる。

2. 2

   $c=1$ とし、余りを先に予想する。 $t-1=t-(1)$ なので $c=1$ を使う。剰余の定理により

   $f(1)=2-1-15=-14$

   となるはずである。

3. 3

   4 つの列で掛けて足す操作を進める。

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 2 & 0 & -1 & -15\\ & & 2 & 2 & 1\\ \hline & 2 & 2 & 1 & -14\end{array}$

   $2$ をそのまま下ろす。$2\cdot 1=2$ で $0+2=2$、$2\cdot 1=2$ で $-1+2=1$、$1\cdot 1=1$ で $-15+1=-14$ となり、予想と一致する。

4. 4

   2 次の商を読み取る。 3 次から次数が 1 つ下がって

   $\text{商}=2t^2+2t+1,\qquad \text{余り}=-14$

   となる。

5. 5

   割り算の等式を検算する。

   $2t^3-t-15=(t-1)\left(2t^2+2t+1\right)-14$

   展開すると $(t-1)(2t^2+2t+1)=2t^3+2t^2+t-2t^2-2t-1=2t^3-t-1$ で、$14$ を引くと $2t^3-t-15\;\checkmark$ になる。余りが 0 でないので $t-1$ は因数ではない。また $2t^2+2t+1$ の判別式は $4-8=-4<0$ なので、3 次式 $2t^3-t-15$ の実数解はちょうど 1 つである。