組立除法で x^3 - 4x^2 + x + 6 を x + 1 で割り、その結果を使ってこの 3 次式を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   $x+1$ を $x-c$ の形に直す。 組立除法で隅に置く数は常に除数の零点なので、始める前に除数を書き換える。

   $x+1=x-(-1)\;\Longrightarrow\; c=-1$

   ここで $+1$ を使ってしまうのが、この形の除数で最も多い誤りである。剰余の定理が安全網になる。表が出す値は $f(-1)=-1-4-1+6=0$ に等しくなければならない。

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   係数を並べる。 $x^3-4x^2+x+6$ には 4 つの冪がすべて現れるので、上の行は

   $1,\;-4,\;1,\;6$

   である。符号は演算ではなく係数に付けたまま扱う。その符号の管理を自動化してくれるのがこの表である。

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   $-1$ を掛けて足す操作を列ごとに進める。

   $\begin{array}{r|rrrr}-1 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & -1 & 5 & -6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0\end{array}$

   順に見ると、$1\cdot(-1)=-1$ で $-4+(-1)=-5$、次に $-5\cdot(-1)=5$ で $1+5=6$、次に $6\cdot(-1)=-6$ で $6+(-6)=0$ となる。$c$ が負だと中段の符号が交互になるので、目で確認するのに便利である。

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   商と余りを読み取る。 次数が 1 つ下がるので、下の行 $1,-5,6,0$ は

   $\text{商}=x^2-5x+6,\qquad \text{余り}=0$

   を意味する。したがって $x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)$ である。

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   商の二次式を因数分解して仕上げる。 商 $x^2-5x+6$ には積が $6$、和が $-5$ になる 2 数、すなわち $-2$ と $-3$ が必要である。

   $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

   したがって完全な因数分解と解は

   $x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3),\qquad x=-1,\,2,\,3$

   となる。定数項で確認すると $(1)(-2)(-3)=6\;\checkmark$ で、元の 3 次式の $+6$ と一致する。