組立除法で x^3 - x^2 - 4 を x - 2 で割れ。x の項が欠けていることに注意すること。

Step-by-step solution

1. 1

   多項式の抜けを見つける。 すべての冪を書き出すと、割られる式は

   $x^3-x^2+0\cdot x-4$

   なので、係数の行は $1,\;-1,\;0,\;-4$ ——3 次式なら 4 つ——でなければならない。$0$ を飛ばして $1,-1,-4$ とだけ書くと以降の列がすべてずれる。これがこの問題で失敗する定番の道筋である。

2. 2

   除数から $c=2$ をとる。 $x-2=x-(2)$ なので隅の値は $c=2$ である。剰余の定理は最後の列がどうなるかを予告する。

   $f(2)=8-4-4=0$

   したがって割り切れると予想される。

3. 3

   0 で埋めた行に沿って掛けて足す。

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & -1 & 0 & -4\\ & & 2 & 2 & 4\\ \hline & 1 & 1 & 2 & 0\end{array}$

   詳しく見ると、$1\cdot 2=2$ で $-1+2=1$、$1\cdot 2=2$ で $0+2=2$（この列こそ 0 を置いたおかげで成立する）、$2\cdot 2=4$ で $-4+4=0$ となる。

4. 4

   結果を読み取る。 下の行から、2 次の商と 0 の余りが得られる。

   $\text{商}=x^2+x+2,\qquad \text{余り}=0$

   したがって $x-2$ は因数であり、$x=2$ はこの 3 次式の解である。

5. 5

   因数分解と残りの解を確認する。 展開し戻すと

   $(x-2)(x^2+x+2)=x^3+x^2+2x-2x^2-2x-4=x^3-x^2-4\;\checkmark$

   となる。商 $x^2+x+2$ の判別式は $1-8=-7<0$ なので、実数の範囲では因数分解できない。つまり実数解は $x=2$ だけで、残る 2 つは共役な複素数 $x=\tfrac{-1\pm i\sqrt7}{2}$ である。