組立除法で x^3 - 2x^2 - 4x + 8 を x - 2 で割れ。商と余りを答えよ。

Step-by-step solution

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   除数から $c$ の値を読み取る。 組立除法が使えるのは除数が $x-c$ の形に書かれているときだけで、隅に置く数はその除数の解であって、式に見えている数ではない。ここでは $x-2=x-(2)$ なので

   $c=2$

   である。$x-2$ に印字されたマイナスにつられて $-2$ を使うのがよくある取り違えである。代わりに剰余の定理で確かめればよい。余りは $f(c)$ に等しくなければならず、$f(2)=8-8-8+8=0$ で、表もこの値を出すはずである。

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   係数を次数の高い順に並べ、欠けている冪には 0 を入れる。 $x^3-2x^2-4x+8$ では $x^3$ から $x^0$ までのすべての冪が現れているので、埋める必要はない。

   $1,\;-2,\;-4,\;8$

   誤りが入り込むのはたいていこの手順である。冪が欠けている場合は $0$ で枠を確保しなければならず、そうしないと以降の掛けて足す操作がすべて 1 列左にずれてしまう。

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   掛けて足す操作を回す。 先頭の $1$ をそのまま下ろし、書いたばかりの数に $c=2$ を掛けて次の係数に足す、を繰り返す。

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & -2 & -4 & 8\\ & & 2 & 0 & -8\\ \hline & 1 & 0 & -4 & 0\end{array}$

   具体的には $1\cdot 2=2$ で $-2+2=0$、次に $0\cdot 2=0$ で $-4+0=-4$、次に $-4\cdot 2=-8$ で $8+(-8)=0$ となる。

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   下の行を読み解く。 最後の値が余りで、その左に並ぶのが商の係数である。1 次式で割ったので次数は 1 つ下がる。

   $\text{商}=1x^2+0x-4=x^2-4,\qquad \text{余り}=0$

   真ん中の列の $0$ は飾りではない——$x$ の係数であり、だからこそ商に 1 次の項がないのである。

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   掛け戻して確かめる。 余りが $0$ ということは割り切れたということなので、除数と商の積は元の 3 次式を再現しなければならない。

   $(x-2)(x^2-4)=x^3-4x-2x^2+8=x^3-2x^2-4x+8\;\checkmark$

   余りが消えたことで因数分解もできたことになる。$x^2-4$ はさらに $(x-2)(x+2)$ に分かれるので $x^3-2x^2-4x+8=(x-2)^2(x+2)$ となり、解は $x=2$（重解）と $x=-2$ である。