x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解の候補を列挙する。 整数係数で最高次の係数が 1 の多項式では、有理数解は定数項 $-6$ を割り切らなければならない：

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$

   ここでは正の候補が有力である。係数の列 $1, -6, 11, -6$ ではすべて符号が変わっており、デカルトの符号法則によれば正の解は 3 個または 1 個だからである。

2. 2

   代入して最初の解を見つける。 $x = 1$ を試すと：

   $1 - 6 + 11 - 6 = 0 \ \checkmark$

   よって $x = 1$ は解であり、因数定理から $(x - 1)$ がこの 3 次式をちょうど割り切る。

3. 3

   分かっている因数を組立除法で割り出す。

   $\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$

   余りがゼロであることが解であることを裏づけ、最下行が次数を下げた 2 次式を与える：

   $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

4. 4

   2 次式を因数分解する。 積が $6$、和が $-5$ となる 2 数は $-2$ と $-3$ である：

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   よって完全な因数分解は

   $(x-1)(x-2)(x-3) = 0$

   である。

5. 5

   積がゼロになる条件を適用して検算する。 積がゼロになるのはいずれかの因数がゼロのときだけなので、

   $x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3$

   である。元の式で確かめると $8 - 24 + 22 - 6 = 0$、$27 - 54 + 33 - 6 = 0$。さらに、解と係数の関係より解の和は $-(-6)/1 = 6$ でなければならず $1 + 2 + 3 = 6$、積は $-(-6)/1 = 6$ でなければならず $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ である。