x³ − 4x + 5 を x² + 2 で割り、商と余りを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   両方の多項式を、すべてのべきが見えるように書く。 被除数には $x^2$ の項がなく、除数には $x$ の項がない：

   $\text{被除数}=x^3+0x^2-4x+5,\qquad \text{除数}=x^2+0x+2$

   除数の次数が $2$ なので組立除法は使えず、筆算による割り算が正しい道具である。

2. 2

   最高次の係数から商の第 1 項を得る。

   $\frac{x^3}{x^2}=x$

   除数に $x$ を掛ける：$x\left(x^2+2\right)=x^3+2x$。これを被除数から引く：

   $\left(x^3+0x^2-4x+5\right)-\left(x^3+0x^2+2x\right)=-6x+5$

3. 3

   手続きを続けられるかを確かめる。 残った $-6x+5$ の次数は $1$、除数の次数は $2$ である。$1<2$ なのでこれ以上取り出せる項はなく、1 段だけで手続きは止まる：

   $\text{商}=x,\qquad \text{余り}=-6x+5$

   商が 1 項だけになるのは想定どおりである。次数の差はちょうど 1 なので、商の次数は $3-2=1$ になる。

4. 4

   答えを 2 通りの標準形で書く。

   $\frac{x^3-4x+5}{x^2+2}=x+\frac{-6x+5}{x^2+2}$

   $x^3-4x+5=\left(x^2+2\right)x+(-6x+5)$

   分数を含まない後者のほうが、検証に使う恒等式として適している。

5. 5

   検証し、余りが何を語るかを見る。 展開すると $\left(x^2+2\right)x=x^3+2x$ であり、$x^3+2x-6x+5=x^3-4x+5\;\checkmark$ となる。余りが零でないので $x^2+2$ は因数ではない。これは $x^2+2$ の零点が $x=\pm i\sqrt2$ であることと整合しており、被除数に $x^2=-2$ を代入すると $x\cdot(-2)-4x+5=-6x+5\ne 0$ となって、まさに余りが現れる。