x³ + x + 1 を x² + 2x − 3 で割り、商と余りを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   ここでは組立除法が使えないことに気づく。 組立除法は $x-c$ の形、すなわち 1 次で最高次の係数が $1$ の除数に対してだけ使える近道である。除数 $x^2+2x-3$ は $2$ 次なので、一般の手続きである多項式の筆算による割り算が必要になる。被除数はすべてのべきを揃えて書く：

   $x^3+0\cdot x^2+x+1$

2. 2

   最高次の項どうしを割って商の第 1 項を得る。 $x^3$ と $x^2$ を比べると：

   $\frac{x^3}{x^2}=x$

   除数全体に $x$ を掛けて引く：

   $x^3+0x^2+x+1-\left(x^3+2x^2-3x\right)=-2x^2+4x+1$

3. 3

   新しい最高次の項について繰り返す。 今度は $-2x^2$ と $x^2$ を比べる：

   $\frac{-2x^2}{x^2}=-2$

   除数に $-2$ を掛けて引く：

   $-2x^2+4x+1-\left(-2x^2-4x+6\right)=8x-5$

   符号の誤りが集中するのは負の数を引くところである：$4x-(-4x)=8x$、$1-6=-5$。

4. 4

   除数より次数が下がったら止める。 いま残っている $8x-5$ の次数は $1$ で、除数の次数 $2$ より小さいので、手続きはここで終わる：

   $\text{商}=x-2,\qquad \text{余り}=8x-5$

   余りが数ではなく多項式であることに注意する。除数の次数が $2$ 以上のときはこれがふつうである。

5. 5

   結果を書き留めて検証する。

   $\frac{x^3+x+1}{x^2+2x-3}=x-2+\frac{8x-5}{x^2+2x-3}$

   掛け戻すと $(x^2+2x-3)(x-2)=x^3-2x^2+2x^2-4x-3x+6=x^3-7x+6$ であり、$x^3-7x+6+(8x-5)=x^3+x+1\;\checkmark$ となる。

6. 6

   除数を因数分解した交差検証（任意）。 $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$ なので、余り $8x-5$ を除数の零点で試せる。$x=1$ では被除数が $1+1+1=3$、余りが $8-5=3\;\checkmark$。$x=-3$ では被除数が $-27-3+1=-29$、余りが $-24-5=-29\;\checkmark$。値が 2 つ一致すれば $1$ 次の余りは完全に決まる。