組立除法で x³ − 2x + 3 を x − 2 で割れ。

Step-by-step solution

1. 1

   欠けている冪に 0 を置いて係数を並べる。 組立除法は位置で決まる係数だけを扱うので、$3$ 次から $0$ 次まですべての次数に枠が必要である。この 3 次式を

   $x^3 + 0x^2 - 2x + 3$

   と書けば、係数の並びは $1, \ 0, \ -2, \ 3$ になる。この $0$ を省くと全体が 1 つずれてしまい、ここでの典型的な誤りになる。

2. 2

   1 次因数から組立除法に使う値を読む。 除数が $x - r$ のときは $r$ そのものを使うので、$x - 2$ なら $2$ で割ることになる（$r$ は $x - 2 = 0$ の解なので正の $2$ である）。$x + 2$ と書かれていれば $r = -2$ になる。

3. 3

   掛けて足す操作を繰り返す。 先頭の $1$ を下ろし、$2$ を掛けて次の係数に足す、を繰り返す。

   $1 \ \rightarrow\ 0 + 2(1) = 2 \ \rightarrow\ -2 + 2(2) = 2 \ \rightarrow\ 3 + 2(2) = 7$

   完成した表は次のとおりである。

   $\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 0 & -2 & 3 \\ & & 2 & 4 & 4 \\ \hline & 1 & 2 & 2 & 7 \end{array}$

4. 4

   下の行を読み解く。 最後の値が余り、それより前の値が商の係数で、次数は 1 つ下がる。$1, 2, 2$ と余り $7$ から

   $\frac{x^3 - 2x + 3}{x - 2} = x^2 + 2x + 2 + \frac{7}{x - 2}$

   となる。

5. 5

   剰余の定理と掛け戻しで検算する。 余りは $f(2)$ に等しくなければならない。

   $f(2) = 8 - 4 + 3 = 7 \ \checkmark$

   さらに商を展開すれば等式全体が確認できる。

   $(x-2)(x^2 + 2x + 2) + 7 = x^3 - 2x - 4 + 7 = x^3 - 2x + 3 \ \checkmark$

   余りが $0$ でないので、$x - 2$ は $x^3 - 2x + 3$ の因数ではない。