(3x⁴ − 4x² + 8x − 1) ÷ (x − 2) の商はいくつか。

Step-by-step solution

1. 1

   被除数をすべての次数がそろった形で書く。 筆算は項を次数でそろえて並べるので、欠けている次数は係数 0 で場所を空けておかなければならない。$x^3$ の項がないので、

   $3x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 8x - 1$

   と書く。これを飛ばすことが、ここで商を間違える最大の原因である。

2. 2

   最高次の項どうしを割って商の最初の項を出す。 筆算の各回で見るのは、つねに 2 つの最高次の項だけである：

   $\frac{3x^4}{x} = 3x^3$

   掛け戻して引く：

   $3x^3(x-2) = 3x^4 - 6x^3$

   $(3x^4 + 0x^3 - 4x^2 + \ldots) - (3x^4 - 6x^3) = 6x^3 - 4x^2 + 8x - 1$

3. 3

   新しい最高次の項に対して繰り返す。 いま途中までの余りは $6x^3$ を先頭にしている：

   $\frac{6x^3}{x} = 6x^2, \qquad 6x^2(x-2) = 6x^3 - 12x^2$

   引くと

   $8x^2 + 8x - 1$

   が残る。

4. 4

   あと 2 回で商が仕上がる。 $8x^2$ からは：

   $\frac{8x^2}{x} = 8x, \qquad 8x(x-2) = 8x^2 - 16x \ \Rightarrow\ 24x - 1$

   $24x$ からは：

   $\frac{24x}{x} = 24, \qquad 24(x-2) = 24x - 48 \ \Rightarrow\ 47$

   残った $47$ は次数 $0$ で割る式より低いので、割り算はここで止まる。

5. 5

   割り算の等式で検算する。 正しい割り算では、被除数 $=$ 割る式 $\times$ 商 $+$ 余り が成り立たなければならない：

   $(x-2)(3x^3 + 6x^2 + 8x + 24) + 47 = 3x^4 - 4x^2 + 8x - 1$

   左辺を展開すると被除数が項ごとに再現される。同じことだが、剰余の定理からは $f(2) = 48 - 16 + 16 - 1 = 47$ が得られ、余りとぴったり一致する。